Question

已知数列{a_n}的前n项的和为S_n，且S_n=2n+7-2a_n．
（1）求证：{a_n-2}为等比数列；
（2）是否存在实数k，使得a_n≤n³+kn²+9n对于任意的n∈N^*都成立，若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer

（1）由n=1，解得a1=3．由n≥2，得3an=2an-1+2，故，由此能够证明{an-2}是首项为1，公比为的等比数列．
（2）由，知，由2+（）n-1≤n3+kn2+9n，得．故只需求出的最大值即可得到k范围．
【解析】
（1）n=1时，a1=S1=2+7-2a1，解得a1=3．
n≥2时，an=Sn-Sn-1=2-2an+2an-1，
即3an=2an-1+2，
∴，
∴{an-2}是首项为1，公比为的等比数列．
（2）由（1）知，
∴，
由2+（）n-1≤n3+kn2+9n，
得．
∴只需求出的最大值即可．
设，，，
∵n∈N*，∴f（n）单调递减．
∵
=，
∴g（n）＜g（n+1），
故g（n）单调递减．
=，
当n≥3时，h（n）＞h（n+1），
故n≥3时，h（n）单调递减．
∴n≥3时，随着n的增大而减小，
∵p（1）=-7，，，
∴p（n）的最大值为p（3）=-．
故k≥．