Question

已知n是不小于3的正整数，，．
（1）求a_n，b_n；
（2）设，求证：．

Answer

（1）由于an，bn是以和式出现，而且与组合数有关，借助于kCnk=nCn-1k-1，可进行转化，从而求出数列的通项公式；
（2）由（1）知，∴，从而利用裂项求和法求和，故可证．
【解析】
（1），
因为kCnk=nCn-1k-1，所以an=nCn-1+nCn-11+…+nCn-1n-1=n（Cn-1+Cn-11+…+Cn-1n-1）=n•2n-1．…3分
因为k2Cnk=k•kCnk=k•nCn-1k-1，而kCn-1k-1=（k-1）Cn-1k-1+Cn-1k-1=（n-1）Cn-2k-2+Cn-1k-1（k≥2），
所以，
=n（n-1）•2n-2+n•2n-1=n（n+1）•2n-2．
（2），
所以．