Question

已知定点A、B间的距离为2，以B为圆心作半径为2的圆，P为圆上一点，线段AP的垂直平分线l与直线PB交于点M，当P在圆周上运动时，点M的轨迹记为曲线C．
（1）建立适当的坐标系，求曲线C的方程，并说明它是什么样的曲线；
（2）试判断l与曲线C的位置关系，并加以证明．

Answer

（1）以AB中点为坐标原点，直线AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A（-1，0），B（1，0）．设M（x，y），由题意：|MP|=|MA|，|BP|=2，所以|MB|+|MA|=2．由此能求出曲线C的方程．
（2）直线l与曲线C的位置关系是相切．
证法一：由曲线C方程为x2+2y2=2，设P（m，n），则P在⊙B上，故（m-1）2+n2=8，即m2+n2=7+2m．由此入手能够证明直线l与曲线C相切．
证法二：在直线l上任取一点M'，连接M'A，M'B，M'C，由垂直平分线的性质得|M'A|=|M'P|，，由此能够证明直线l与曲线C相切．
【解析】
（1）以AB中点为坐标原点，直线AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
则A（-1，0），B（1，0）．
设M（x，y），由题意：|MP|=|MA|，|BP|=2，
所以|MB|+|MA|=2．
故曲线C是以A、B为焦点，长轴长为2的椭圆，
其方程为x2+2y2=2．
（2）直线l与曲线C的位置关系是相切．
证法一：由（1）知曲线C方程为x2+2y2=2，
设P（m，n），则P在⊙B上，故（m-1）2+n2=8，
即m2+n2=7+2m．
当P、A、B共线时，
直线l的方程为x=±，显然结论成立．
当P、A、B不共线时，
直线l的方程为：，
整理得，．
把直线l的方程代入曲线C方程得：，
整理得[n2+2（m+1）2]x2-4（m+1）（m+3）x+2（m+3）2-2n2=0．
△=[4（m+1）（m+3）]2-4[n2+2（m+1）2][2（m+3）2-2n2]
=-8n2[（m+3）2-n2-2（m+1）2]=-8n2[-m2-n2+2m+7]=0．
∴直线l与曲线C相切．（说明：以A或B为原点建系亦可）
证法二：在直线l上任取一点M'，
连接M'A，M'B，M'C，
由垂直平分线的性质得|M'A|=|M'P|，
∴
（当且仅当M、M'重合时取“=”号）
∴直线l与椭圆C有且仅有一个公共点M．
∴直线l与曲线C相切．