Question

已知f（x）=（x+1）（x+2）（x+3）…（x+n），（n≥2，n∈N），其导函数为f′（x），，则a₁₀₀=    ．

Answer

由函数f（x）=（x+1）（x+2）（x+3）…（x+n），（n≥2，n∈N），求其导函数，得f′（x）=（x+2）（x+3）…（x+n）+（x+1）（x+3）…（x+n）+…+（x+1）（x+2）…（x+n-1），从而得f′（-2），f（0）；由an=，求得a100．
【解析】
∵函数f（x）=（x+1）（x+2）（x+3）…（x+n），（n≥2，n∈N），则
其导函数f′（x）=（x+2）（x+3）…（x+n）+（x+1）（x+3）…（x+n）+…+（x+1）（x+2）…（x+n-1），
∴f′（-2）=0+（-1）×1×…×（n-2）+0+…+0=-（n-2）!，f（0）=n!；
当an=时，有a100==-．
故答案为：．