Question

已知两条不重合的直线m、n和两个不重合的平面α、β，有下列命题：
①若m⊥n，m⊥α，则n∥α； 
②若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β； 
③若m、n是两条异面直线，m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β； 
④若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α．
其中正确命题的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer

①直线与平面的位置关系有三种：平行，相交，在平面内，此命题中n可能在平面α内，故①错误；②利用“垂直于同一条直线的两平面平行即可判断②正确；③利用线面垂直的判定定理，先证明平面β内有两条相交直线与平面α平行，再由面面平行的判定定理证明两面平行，③正确；④若两平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面，由此性质定理即可判断④正确
【解析】
①若m⊥n，m⊥α，则n可能在平面α内，故①错误
②∵m⊥α，m∥n，∴n⊥α，又∵n⊥β，∴α∥β，故②正确
③过直线m作平面γ交平面β与直线c，
∵m、n是两条异面直线，∴设n∩c=O，
∵m∥β，m⊂γ，γ∩β=c∴m∥c，
∵m⊂α，c⊄α，∴c∥α，
∵n⊂β，c⊂β，n∩c=O，c∥α，n∥α
∴α∥β；故③正确
④由面面垂直的性质定理：∵α⊥β，α∩β=m，n⊂β，n⊥m，∴n⊥α．故④正确
故正确命题有三个，
故选C