Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，AA₁=2，点M是BC的中点，点N是AA₁的中点．
（1）求证：MN∥平面A₁CD；
（2）过N，C，D三点的平面把长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁截成两部分几何体，求所截成的两部分几何体的体积的比值．

Answer

（1）证法1：过MN构造一个平面，使其平行于平面A1CD，则可得MN∥平面A1CD；
证法2：根据直线与平面平行的判定定理可知，只要在平面A1CD里面找到一条直线与MN平行即可，因为M、N均为中点，所以构造平行线的时候可以考虑一下构造“中位线”．
（2）首先要作出这个截面，然后通过观察可知，截面将此长方体分成了一个三棱柱与一个四棱柱，接着求出各自的体积，再求出比值即可；或者进一步观察也能发现，这个三棱柱与四棱柱是等高的（因为在长方体中），所以我们其实只要求出它们的底面积的比值就可以了．
（1）证法1：设点P（2）为AD（3）的中点，连接MP，NP（4）．
∵点M是BC的中点，
∴MP∥CD．
∵CD⊂平面A1CD，MP⊄平面A1CD，
∴MP∥平面A1CD．（2分）
∵点N是AA1的中点，
∴NP∥A1D．
∵A1D⊂平面A1CD，NP⊄平面A1CD，
∴NP∥平面A1CD．（4分）
∵MP∩NP=P，MP⊂平面MNP，NP⊂平面MNP，
∴平面MNP∥平面A1CD．
∵MN⊂平面MNP，
∴MN∥平面A1CD．（6分）

证法2：连接AM并延长AM与DC的延长线交于点P，连接A1P，
∵点M是BC的中点，
∴BM=MC．
∵∠BMA=∠CMP，∠MBA=∠MCP=90°，
∴RtMBA≌RtMCP．（2分）
∴AM=MP．
∵点N是AA1的中点，
∴MN∥A1P．（4分）
∵A1P⊂平面A1CD，MN⊄平面A1CD，
∴MN∥平面A1CD．（6分）

（2）【解析】
取BB1的中点Q，连接NQ，CQ，
∵点N是AA1的中点，
∴NQ∥AB．
∵AB∥CD，
∴NQ∥CD．
∴过N，C，D三点的平面NQCD把长方体ABCD-A1B1C1D1截成两部分几何体，
其中一部分几何体为直三棱柱QBC-NAD，另一部分几何体为直四棱柱B1QCC1-A1NDD1．（8分）
∴，
∴直三棱柱QBC-NAD的体积，（10分）
∵长方体ABCD-A1B1C1D1的体积V=1×1×2=2，
∴直四棱柱B1QCC1-A1NDD1体积．（12分）
∴==．
∴所截成的两部分几何体的体积的比值为．（14分）
（说明：也给分）