Question

已知椭圆的右焦点F₂与抛物线C₂：y²=4x的焦点重合，椭圆C₁与抛物线C₂在第一象限的交点为P，．圆C₃的圆心T是抛物线C₂上的动点，圆C₃与y轴交于M，N两点，且|MN|=4．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）证明：无论点T运动到何处，圆C₃恒经过椭圆C₁上一定点．

Answer

（1）根据抛物线的方程，求出焦点坐标，然后求出椭圆的坐标，通过定义建立方程，化简即可得到椭圆C1的方程．
（2）设出点T的坐标，将抛物线方程代入圆的方程，得到一元二次方程，证明此方程恒成立即可．
【解析】
（1）：∵抛物线C2：y2=4x的焦点坐标为（1，0），
∴点F2的坐标为（1，0）．
∴椭圆C1的左焦点F1的坐标为F1（-1，0），
抛物线C2的准线方程为x=-1．
设点P的坐标为（x1，y1），
由抛物线的定义可知|PF2|=x1+1，
∵，
∴，解得．
由，且y1＞0，得．
∴点P的坐标为．
在椭圆C1：中，c=1.．
∴．
∴椭圆C1的方程为．
（2）证明：设点T的坐标为（x，y），圆C3的半径为r，
∵圆C3与y轴交于M，N两点，且|MN|=4，
∴．
∴．
∴圆C3的方程为（x-x）2+（y-y）2=4+x2．（*）
∵点T是抛物线C2：y2=4x上的动点，
∴y2=4x（x≥0）．
∴．
把代入（*）
消去x整理得：．（**）
方程（**）对任意实数y恒成立，
∴
解得
∵点（2，0）在椭圆C1：上，
∴无论点T运动到何处，圆C3恒经过椭圆C1上一定点（2，0）．