Question

已知数列{a_n}和{b_n}满足a₁=b₁，且对任意n∈N^*都有a_n+b_n=1，．
（1）判断数列是否为等差数列，并说明理由；
（2）证明：（1+a_n）ⁿ⁺¹•b_nⁿ＞1．

Answer

（1）根据，把an+bn=1代入整理得，进而根据等差数列的定义判断出数列为等差数列．
（2）根据an+bn=1，a1=求得a1和b1．进而根据（1）中求得an，进而求得bn，进而可知要证不等式（1+an）n+1•bnn＞1，即，令，对函数f（x）进行求导，再令，对函数g（x）进行求导，进而利用导函数判断f（x）和g（x）的单调性，进而利用函数的单调性证明原式．
（1）【解析】
数列为等差数列．
理由如下：
∵对任意n∈N*都有an+bn=1，，
∴．
∴，即．
∴数列是首项为，公差为1的等差数列．
（2）证明：∵an+bn=1，a1=
∴a1=b1=．
由（1）知．
∴，．
所证不等式（1+an）n+1•bnn＞1，即，
也即证明．
令，
则．
再令，
则=．
当x＞1时，g′（x）＜0，
∴函数g（x）在[1，+∞）上单调递减．
∴当x＞1时，g（x）＜g（1）=0，即．
∴当x＞1时，＜0．
∴函数在（1，+∞）上单调递减．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴（1+an）n+1•bnn＞1成立．