Question

设F₁，F₂分别是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，且椭圆上一点到F₁，F₂两点距离之和等于4．
（Ⅰ）求此椭圆方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过定点，求k的取值范围．

Answer

（Ⅰ）由已知得到关于a，b的两个方程，解出对应a，b的值即可．
（Ⅱ）先把直线方程与椭圆方程联立，找到关于点M、N的中点坐标，把其代入线段MN的垂直平分线方程，可以得到k和m之间的一个等量关系，再利用直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M、N，对应判别式大于0，就可求出k的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）由题意有，解得
∴椭圆的方程为=1
（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），由⇒（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0
∵直线y=kx+m与椭圆有两个交点
∴△=（8km）2-4（3+4k2）（4m2-12）＞0，即m2＜4k2+3
又x1+x2=-∴MN中点P的坐标为
设MN的垂直平分线l'方程：y=-
∵p在l'上∴
即4k2+8km+3=0∴m=-
将上式代入得+3∴k2＞
即k＞或k＜-∴k的取值范围为．