Question

已知数列{a_n}的首项为a₁=3，点（a_n，a_n+1）在直线3x-y=0（n∈N^*）上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若f（x）=a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，求f'（1）的值，并化简．

Answer

（1）通过点在直线上，求出an与an+1的关系，判断数列是等比数列，然后求数列{an}的通项公式；
（2）若f（x）=a1x+a2x2+…+anxn，求出函数的导数，然后直接求出f′（1）的值，利用错位相减法求出值即可．
【解析】
（1）由已知有3an-an+1=0，所以数列{an}为等比数列，…（4分）
an=a1•3n-1=3n（n∈N*），…（6分）
（2）f（x）=a1x+a2x2+…+anxn，
则f′（x）=a1+2a2x+3a3x2+…+nanxn-1，
则f′（1）=a1+2a2+3a3+…+nan=3+2•32+3•33+…+n•3n…①
3f′（1）=3•3+2•32•3+3•33•3+…+n•3n•3
即3f′（1）=32+2•33+3•34+…+（n-1）•3n+n•3n+1…②…（8分）
①-②得-2f′（1）=3+32+33+…+3n-n•3n+1

…（14分）