Question

已知四棱锥P-ABCD的三视图如图所示，其中主视图、侧视图是直角三角形，俯视图是有一条对角线的正方形．E是侧棱PC上的动点．
（1）求证：BD⊥AE；
（2）若E是PC的中点，且五点A，B，C，D，E在同一球面上，求该球的表面积．

Answer

（1）证明PC⊥面ABCD，BD⊥PC，证明BD⊥面PAC，即可证明BD⊥AE．
（2）几何体的外接球就是扩展为正方体的外接球，求出球的半径，即可求该球的表面积．
【解析】
（1）证明：由已知PC⊥BC，PC⊥DC，BC∩DC=C，⇒PC⊥面ABCD…（2分）
∵BD⊂面ABCD⇒BD⊥PC，
又因为BD⊥AC，PC∩AC=C，
∴BD⊥面PAC，
又∵AE⊂面PAC，
∴BD⊥AE．…（7分）
（2）【解析】
以正方形ABCD为底面，EC为高补成正方体，此时对角线EA的长为球的直径，
∴，
S球=4πR2=3π．…（14分）