Question

已知动点P的轨迹为曲线C，且动点P到两个定点F₁（-1，0），F₂（1，0）的距离的等差中项为．
（1）求曲线C的方程；
（2）直线l过圆x²+y²+4y=0的圆心Q与曲线C交于M，N两点，且（O为坐标原点），求直线l的方程．

Answer

（1）由题意及根据椭圆定义，2a=|PF1|+|PF2|可求a，由已知焦点可求c，根据b=可求b，进而可求椭圆方程
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），可设l：y=kx-2，则y1y2=k2x1x2-2k（x1+x2）+4，联立直线y=kx-2与椭圆方程为，得x2+2（kx-2）2=2，根据方程的根与系数关系可求x1+x2，x1x2，由y=kx-2可得y1y2，由 ，代入可求k，进而可求直线方程
【解析】
（1）由题意可得P的轨迹是以定点F1（-1，0），F2（1，0）为焦点的椭圆，且c=1
根据椭圆定义，得，
∴．
∴所求椭圆方程为．                                           …（6分）
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），由 ，
设l：y=kx-2，则y1=kx1-2，y2=kx2-1
∴y1y2=k2x1x2-2k（x1+x2）+4
∴（1+k2）x1x2-2k（x1+x2）+4=0（*）．
联立直线y=kx-2与椭圆方程为，得x2+2（kx-2）2=2
∴代入（*）得，
所求直线．…（14分）