Question

已知函数．
（1）若a=1，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在区间[-1，1]上单调递增，求实数a的取值组成的集合A；
（3）设关于x的方程的两个非零实根为x₁，x₂，试问是否存在实数m，使得不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）将a=1代入f（x），求出f（x）的导函数，令导函数大于0求出x的范围即为单调递增区间，令导函数小于0得到的x的范围即为单调递减区间．
（2）求出导函数，令导函数大于等于0在[-1，1]上恒成立，结合二次函数的图象写出限制条件，求出a的范围．
（3）列出方程，转化为二次方程的根，根据根与系数的关系得到|x1-x2|max，然后利用二次函数的图象列出要使不等式恒成立的限制条件，求出m的范围．
【解析】
（1），
f'（x）=4+2x-2x2=-2（x2-x-2）=-2（x+1）（x-2），
由f'（x）＞0⇒-1＜x＜2，
∴f（x）的单调增区间为（-1，2）．
由f'（x）＜0⇒x＜-1，x＞2，
∴f（x）的单调减区间为（-∞，-1），（2，+∞）．…（4分）
（2）f'（x）=4+2ax-2x2，
因f（x）在区间[-1，1]上单调递增，
所以f'（x）≥0恒成立．…（6分）
．
A=[-1，1]…（9分）．
（3），
2x+ax2-x3=0⇒x（x2-ax-2）=0
∴，
∴|x1-x2|max=3，…（11分）
⇒只需m2+tm+1≥3对t∈[-1，1]恒成立，
令g（t）=m2+tm-2，
即g（t）=m2+tm-2≥0，对t∈[-1，1]恒成立，…（13分）
m≤-2或m≥2
所以存在m∈（-∞，-2]∪[2，+∞）…（14分）