Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+1和函数，
（1）若f（x）为偶函数，试判断g（x）的奇偶性；
（2）若方程g（x）=x有两个不等的实根x₁，x₂（x₁＜x₂），则
①试判断函数f（x）在区间（-1，1）上是否具有单调性，并说明理由；
②若方程f（x）=0的两实根为x₃，x₄（x₃＜x₄），求使x₃＜x₁＜x₂＜x₄成立的a的取值范围．

Answer

（1）f（x）为偶函数，又为二次函数故b=0，a≠0，故可得出g（x）=用定义可判断出其为奇函数；
（2）①由得有不等实根，整理后得一二次方程，故可得△＞0，其为一关于a，b的关系式，从中整理 得出对称轴的范围，知其不在区间（-1，1）上，故可证得函数在区间（-1，1）上具有单调性．
②方程f（x）=0为一二次函数其两实根为x3，x4（x3＜x4），若x3＜x1＜x2＜x4成立，即x1，x2在两根之间，可由根的分布的相关知识将这一关系转化为不等式，解出a的范围．
【解析】
（1）∵f（x）为偶函数，∴f（-x）=f（x），∴bx=0，∴b=0
∴，∴函数g（x）为奇函数；（4分）
（2）①由得方程a2x2+bx+1=0（*）有不等实根
∴△=b2-4a2＞0及a≠0得即（7分）
又f（x）的对称轴
故f（x）在（-1，1）上是单调函数（10分）
②x1，x2是方程（*）的根，∴a2x12+bx1+1=0
∴bx1=-a2x12-1，同理bx2=-a2x22-1
∴f（x1）=ax12+bx1+1=ax12-a2x12=（a-a2）x12
同理f（x2）=（a-a2）x22
要使x3＜x1＜x2＜x4，只需即，∴a＞1
或即，解集为φ
故a的取值范围a＞1（16分）