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已知函数f(x)=x2e-ax,其中a>0. (I)求f(x)的单调区间; (I...

已知函数f(x)=x2e-ax,其中a>0.
(I)求f(x)的单调区间;
(II)求f(x)在[1,2]上的最大值
(I)对函数f(x)=x2e-ax,进行求导,解出函数的极值点,然后根据极值点的值判断函数的单调区间; (II)因区间[1,2]比较大,里面不是单调的增或者间,需要讨论,然后代入求解. 【解析】 (Ⅰ)f'(x)=2xe-ax+x2(-a)e-ax=e-ax(-ax2+2x)(2分) 令f'(x)>0,∵e-ax>0(3分) ∴-ax2+2x>0,解得.(4分) ∴f(x)在(-∞,0)和内是减函数,在内是增函数.(6分) (Ⅱ)①当,即a>2时,f(x)在(1,2)内是减函数. ∴在[1,2]上fmax(x)=f(1)=e-a;(8分) ②当,即1≤a≤2时,f(x)在内是增函数,在内是减函数. ∴在[1,2]上;(10分) ③当,即0<a<1时,f(x)在(1,2)是增函数. ∴在[1,2]上fmax(x)=f(2)=4e-2a.(12分) 综上所述,当0<a<1时,f(x)在[1,2]上的最大值为4e-2a; 当1≤a≤2时,f(x)在[1,2]上的最大值为4a-2e-2; 当a>2时,f(x)在[1,2]上的最大值为e-a.(13分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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