Question

已知抛物线x²=2py（p＞0）与直线交于A、B两点，O为坐标原点．
（I）当k=1时，求线段AB的长；
（II）当k在R内变化时，求线段AB中点C的轨迹方程；
（III）设l是该抛物线的准线．对于任意实数k，l上是否存在点D，使得？如果存在，求出点D的坐标；如不存在，说明理由．

Answer

将知抛物线x2=2py（p＞0）与直线联立．
（Ⅰ）当k=1时，代入可求AB=4p；
（Ⅱ）设线段AB中点C的坐标为（x，y），则当k变化时，，消去k，可得点C的轨迹方程．       
（Ⅲ）假设在l上存在一点，使，结合x1+x2=2pk，x1x2=-p2，y1+y2=2pk2+p，，可知对于任意实数k，在l上存在点，使得．
【解析】
设点A（x1，y1），B（x2，y2），由题意得，∴x2-2pkx-p2=0，∴x1+x2=2pk，x1x2=-p2，∴y1+y2=2pk2+p，
（Ⅰ）当k=1时，，∴AB=4p
（Ⅱ）设线段AB中点C的坐标为（x，y），则当k变化时，，消去k，得．
即点C的轨迹方程为．       
（Ⅲ）抛物线x2=2py（p＞0）的准线l的方程为
假设在l上存在一点，使，则有 ①
将x1+x2=2pk，x1x2=-p2，y1+y2=2pk2+p，，代入①式，整理得（x-pk）2=0，∴x=pk．
∴对于任意实数k，在l上存在点，使得．