Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²a_n-n（n-1）（n∈N^*），且．
（I）求a₂与a₃；
（II）求证：数列是等差数列；
（III）试比较a₁+2a₂+3a₃+…+na_n与2ⁿ⁺¹-n-2的大小，并说明理由．

Answer

（Ⅰ）利用Sn=n2an-n（n-1）（n∈N*），n分别取2，3代入，结合，可求a2与a3的值；         
（II）由 an=Sn-Sn-1 （n≥2），结合条件可得 =1，结论得证．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，，根据Sn=n2an-n（n-1），可得=n2an-n（n-1），从而有，利用 2n=（1+1）n=1+n+…+Cnn≥1+n，得，从而有，故a1+2a2+3a3+…+nan≤+…，利用分组求和即可得结论．
【解析】
（Ⅰ）∵Sn=n2an-n（n-1）（n∈N*），
∴S2=4a2-2=a1+a2，S3=9a3-6=a1+a2+a3，
∵，
∴，．                                                     
（Ⅱ）证明：由 an=Sn-Sn-1 （n≥2），及 Sn=n2an-n（n-1）得 
Sn=n2（Sn-Sn-1）-n（n-1），即  （n2-1 ）Sn-n2Sn-1=n（n-1），
∴=1，
∵，∴
∴{ }是首项为1，公差为1的等差数列．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，
∴，
又已知Sn=n2an-n（n-1），
∴=n2an-n（n-1），
∴．                                       
∵2n=（1+1）n=Cn+Cn1+…+Cnn≥1+n，
∴，
∴，
∴
∴a1+2a2+3a3+…+nan≤+…
=
=
=
∵当n∈N*时，，即，
∴＜2n+1-n-2．
即a1+2a2+3a3+…+nan＜2n+1-n-2