Question

在平面直角坐标系中，定义到点P_n+1（x_n+1，y_n+1）的一个变换为“γ变换”，已知P₁（0，1），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n），P_n+1（x_n+1，y_n+1）是经过“γ变换”得到的一列点．设a_n=|P_nP_n+1|，数列{a_n}的前n项和为S_n，那么S₁₀的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer

由题设可求p1（0，1），P2（1，1），由已知，可寻求an与an-1的关系，来研究数列{an}的性质．再结合得出的性质求和计算．
【解析】
由题设知p1（0，1），P2（1，1），a1=|P1P2|=1，
且当n≥2时，
    an2=|PnPn+1|2=（xn+1-xn）2-（yn+1-yn）2=[（yn-xn）-xn]2+[（yn+xn）-yn]2=5xn2-4xnyn+yn2
    an-12=|Pn-1Pn|2=（xn-xn-1）2-（yn-yn-1）2①
由得    有
代入①计算化简得an-12=|Pn-1Pn|2=+=（5xn2-4xnyn+yn2）=an2．
∴=，（n≥2），
∴数列{an}是以为公比的等比数列，且首项a1=1，
∴an=n-1，
∴Sn=a1+a2+a3+…+an=，
∴S10==
故选C