Question

定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=-f（x），且在[0，2]上单调，若存在x∈（0，2）使f（x）=0，则方程f（x）=0在x∈[2002，2010]上所有根的和等于    ．

Answer

利用f（x+2）=-f（x），可得f（x+4）=f（x），∴函数是以4为周期的周期函数，又因为偶函数在[0，2]上单调，且存在x∈（0，2）使f（x）=0，可得在x∈[2002，2006]上两根之和及在x∈[2006，2010]上两根之和，从而得解．
【解析】
由题意，∵f（x+2）=-f（x），∴f（x+4）=f（x），∴函数以4为周期，
∵偶函数在[0，2]上单调，且存在x∈（0，2）使f（x）=0，
∴在x∈[2002，2006]上两根之和为2004×2=4008，
在x∈[2006，2010]上两根之和为2008×2=4016，
∴方程f（x）=0在x∈[2002，2010]上所有根的和等于4008+4016=8024
故答案为8024．