Question

如图a，直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，AB=BC=AD=1，E是底边AD的中点，沿CE将△CDE折起，使A-CE-D是直二面角（如图b）．在图b中过D作DF⊥平面BCD，EF∥平面BCD．
①求证：DF⊂平面CDE；
②求点F到平面ACD的距离；
③求面ACE与面ACF所成二面角的余弦值．

Answer

①先根据线面垂直判定定理可知BC⊥平面CDE，过E作EG⊥CD，垂足为G，则EG⊥平面BCD，根据DF⊥平面BCD，则DF∥EG，DF、EG共面，都在平面DEG中，从而DF⊂平面CDE．
②在四面体ACDF中，AE⊥平面CDF，设点F到平面ACD的距离为h，根据等体积法可求出h；
③以E为原点，EA、EC、ED所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求出平面ACF的一个法向量和面ACE的一个法向量，然后求出两个法向量的夹角，从而求出面ACE与面ACF所成二面角的余弦值．
【解析】
①依题意DE⊥BC，CE⊥BC，
因为DE∩CE=E，
所以BC⊥平面CDE，过E作EG⊥CD，
垂足为G，则EG⊥平面BCD，
又因为DF⊥平面BCD，
所以DF∥EG，DF、EG共面，都在平面DEG中，
所以DF⊂平面CDE．
②在四面体ACDF中，AE⊥平面CDF，设点F到平面ACD的距离为h，
则，直接计算知，，AE=1，，，
从而，．
③以E为原点，EA、EC、ED所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（1，0，0）、C（0，1，0）、，，，
设平面ACF的一个法向量为，
则，即，
所以取，面ACE的一个法向量为，
所以面ACE与面ACF所成二面角的余弦值．