Question

已知数列a_n的首项a₁=0，a_n+a_n+1（n∈N^*）是首项为1、公差为3的等差数列．
①求a_n的通项公式；
②求数列2^-n×a_n的前n项和S_n．

Answer

①依题意，an+an+1=3n-2，a2n-1（n∈N*）和a2n（n∈N*）都是公差为3的等差数列．由此可求出an的通项公式．
②Sn=2-1×a1+2-2×a2+2-3×a3++2-n+1×an-1+2-n×an，2Sn=a1+2-1×a2+2-2×a3++2-n+2×an-1+2-n+1×an，由此用错位相减法能够独到
【解析】
①依题意，根据等差数列通项公式，an+an+1=3n-2，
当n＞1时，an+an-1=3n-5，an+1-an-1=3，
即a2n-1（n∈N*）和a2n（n∈N*）都是公差为3的等差数列．
因为a1=0，a2=1，
所以a2n-1=3（n-1），a2n=3n-2，
即，k∈N*．
②Sn=2-1×a1+2-2×a2+2-3×a3++2-n+1×an-1+2-n×an2Sn=a1+2-1×a2+2-2×a3++2-n+2×an-1+2-n+1×an，
两式相加得3Sn=2-1（a2+a1）+2-2（a3+a2）++2-n+2（an-1+an-2）+2-n+1（an+an-1）+2-n×an6Sn
=（a2+a1）+2-1（a3+a2）++2-n+3（an-1+an-2）+2-n+2（an+an-1）+2-n+1×an
两式相减得：3Sn=1+2-1×3+2-2×3++2-n+2×3-2-n+1×（3n-5）+2-n×an3Sn
=1+3×（1-2-n+2）-2-n+1×（3n-5）+2-n×an=4-2-n×（6n+2-an）
，
所以，k∈N*．