Question

设数列a_n、b_n、c_n的前n项和分别为S_n、T_n、R_n，对∀n∈N*，a_n=5S_n+1，，c_n=b_2n-b_2n-1．
①求a_n的通项公式；
②求证：；
③若T_n＜λn，对∀n∈N^*恒成立，求λ的取值范围．

Answer

①由an=5Sn+1得a1=5S1+1=5a1+1，．n＞1时，an-1=5Sn-1+1，由此能求出an．
②，，，由此能够证明．
③由Tn＜λn得，，由此进行分类讨论能够得到λ的取值范围是．
【解析】
①由an=5Sn+1得a1=5S1+1=5a1+1，．n＞1时，an-1=5Sn-1+1，
两式相减得an-an-1=5（Sn-Sn-1）=5an，，
所以．
②，
，
，
从而．
③由Tn＜λn得，，
若n=2k-1（k∈N*）是奇数，
则Tn≥4n-1，当且仅当λ≥4；
若n=2k（k∈N*）是偶数，，
Tn＜4n，即当λ≥4时有Tn＜λn．
综上所述，λ的取值范围是[4，+∞）．