Question

已知函数，a∈R是常数．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）求时，f（x）零点的个数；
③求证：（n∈N^*，e为自然对数的底数）．

Answer

（1）讨论含参数的函数的单调性问题，先求出导函数f′（x），令f′（x）＞0，本小题要对参数a分a≥0，-1＜a＜0，a≤-1三种情形进行讨论，对运算能力要求较高；
（2），由（1）的结论-1＜a=＜0，所以分三个单调区间来利用单调性来讨论函数的零点的个数问题．
（3）是近年来高考考查的热点问题，即与函数结合证明不等式问题，常用的解题思路是利用前面的结论构造函数，利用函数的单调性，对于函数取单调区间上的正整数自变量n有某些结论成立，进而解答出这类不等式问题的解．
【解析】
（1），
若a≥0，则f′（x）＞0，f（x）在定义域内单调递增；若a≤-1，
则f′（x）＜0，f（x）在定义域内单调递减；若-1＜a＜0，由f′（x）=0
解得，，，
直接讨论f′（x）知，f（x）在
和单调递减，
在单调递增．
（2）观察得f（0）=0，时，
由①得f（x）在单调递减，
所以f（x）在上有且只有一个零点；
，
计算得，
f（x1）f（x2）＜0且f（x）在区间单调递增，
所以f（x）在上有且只有一个零点；
根据对数函数与幂函数单调性比较知，
存在充分大的M∈R，使f（M）＜0，f（x2）f（M）＜0
且f（x）在区单调递减，
所以f（x）在上
从而在上有且只有一个零点．
综上所述，时，f（x）有3个零点．
（3）取a=-1，，
由①得f（x）单调递减，
所以∀x＞0，f（x）＜f（0）=0，，
从而ln（1+）（1+）…（1+）
=ln（1+）ln（1+）+…（1+）
＜++…，
由lnx单调递增得．