Question

已知二次函数f（x）=x²+ax+b（a、b∈R）．
（1）若函数f（x）无零点，求证：b＞0；
（2）若函数f（x）有两个零点，且两零点是相邻两整数，求证：；
（3）若函数f（x）有两非整数零点，且这两零点在相邻两整数之间，试证明：存在整数k，使得．

Answer

（1）只需要转化为相应方程的根的问题即可解答；
（2）充分利用函数与方程的思想，在对应方程当中利用韦达定理即可解答；
（3）当中充分利用数形结合的思想即可获得相应的不等条件，再结合二次函数配方利用函数的思想即可获得函数值的范围．
【解析】
（1）证明：f（x）=x2+ax+b无零点，
△=a2-4b＜0，
．
（2）证明：设f（x）=（x-m）（x-m-1），m∈Z，
则2m+1=-a，，
所以．

（3）证明：设相邻两整数为t、t+1，则f（t）＞0，f（t+1）＞0且△=a2-4b＞0，
根据二次函数的单调性，f/（t）=2t+a＜0，f/（t+1）=2（t+1）+a＞0，
从而-2（t+1）＜a＜-2t即．
所以或．
若，
则，从而；
若，
则，从而．
所以，存在整数k（k=t或k=t+1），使得．