Question

设a_n是集合2^s+2^t|0≤s＜t，s，t∈Z中所有的数从小到大排列成的数列，即a₁=3，a₂=5，a₃=6，a₄=9，a₅=10，a₆=12，…，将数列a_n各项按照上小下大、左小右大的原则写成如下的三角形数表：
（1）写出这个三角形数表的第五行的各数；
（2）求a₁₀₀（可用2^s+2^t的形式表示）；
（3）设b_n（n∈N*）是这个三角形数表第n行各数的和，求数列b_n的前n项和S_n．

Answer

（1）从左到右依次是25+2=33，25+21=34，25+22=36，25+23=40，25+24=48．
（2）第n行有n个数，设a100在第n行，则，由此能求出a100．
（3）依题意，bn=（2n+2）+（2n+21）+…+（2n+2n-1）=（n+1）2n-1，然后由错位相减法能得到前n项和Sn．
【解析】
（1）从左到右依次是25+2=33，
25+21=34，
25+22=36，
25+23=40，
25+24=48．
（2）第n行有n个数，
设a100在第n行，
则，
解得n=14，
，
即a100是第14行第9个数，a100=214+28．
（3）依题意，bn=（2n+2）+（2n+21）+…+（2n+2n-1）
=（n+1）2n-1，Sn=b1+b2+bn-1+bn
=（2×21-1）+（3×22-1）+…+（n×2n-1-1）+[（n+1）2n-1]
=[2×21+3×22++n×2n-1+（n+1）2n]-n，2Sn=[2×22+3×23++n×2n+（n+1）2n+1]-2n，两式相减，并由等比数列前n项和公式得Sn=-2×21-[22+23+…+2n]+（n+1）2n+1-n
=n×（2n+1-1）．