Question

如图，已知三棱台ABC-A₁B₁C₁，等边三角形AB₁C所在的平面与底面ABC垂直，且∠ACB=90°，设AC=2a，BC=a．
（1）求点A到面B₁BCC₁的距离；
（2）求二面角A-B₁B-C的余弦值；
（3）设，|MA₁|=x，|CC₁|=y，试将y表示为x的函数．

Answer

（1）由题意因为面AB1C⊥面ABC，所以B1D⊥ABC，利用三棱锥的体积可以进行定点进行轮换的方法求解点到面的距离；
（2）由题意过D作DE∥BC，以D为原点，DE、DC、DB1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，建立空间直角坐标系，先设出两个半平面的法向量的坐标，并利用法向量的定义解出坐标，在利用平面法向量的夹角求出二面角；
（3）设B1C1=m，则A1C1=2m，有上两问写出一些点的坐标，利用两点间的距离公式求出两点间的距离．
【解析】
（1）作B1D⊥AC，垂足为D，因为面AB1C⊥面ABC，
所以B1D⊥ABC，因为∠ACB=90o所以BC⊥AB1C．设A到面B1BCC1的距离为h，由，
即，解得．
（2）过D作DE∥BC，以D为原点，DE、DC、DB1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（0，-a，0）、B（a，a，0）、C（0，a，0）、，设平面AB1B的一个法向量为，则，取r=1得，同理，平面B1BC的一个法向量，
所以二面角A-B1B-C的余弦值为．
（3）设B1C1=m，则A1C1=2m，，，由得，根据空间两点的距离公式，，，
所以．