Question

已知函数f（x）=x²+bln（x+1），其中b≠0是常数．
（1）判断函数在定义域上的单调性；
（2）对∀n∈N^*，不等式恒成立，求常数p的取值范围．

Answer

（1）先求导：，由二次函数法研究导数大于或小于等于零，从而得到单调性．
（2）先构造函数g（x）=ln（x+1）-x-px2，求导得.，1≤x+1≤2，研究单调性，若，则g/（x）≥0，函数是增函数；若，则g/（x）≤0，函数是减函数；若，求得g（x）的极值点，最后转化为最值法解决．
【解析】
（1），
若，f（x）在定义域区间（-1，+∞）上单调增加；
若，由f/（x）=0解得，，
f（x）在（-1，x1）上单调增加，在（x1，x2）上单调减少，在（x2，+∞）上单调增加．

（2）设g（x）=ln（x+1）-x-px2，其中0≤x≤1.，1≤x+1≤2，．
若，则g/（x）≥0，g（x）＞g（0）=0，从而∀n∈N*，；
若，则g/（x）≤0，g（x）＜g（0）=0，从而∀n∈N*，；
若，解g/（x）=0，得x1=0或，而且x2是g（x）的一个极小值点．
综上所述，使不等式（n∈N*）恒成立的p的取值范围是．