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设F1,F2分别是椭圆C:manfen5.com 满分网=1(a>b>0)的左、右焦点,且椭圆上一点manfen5.com 满分网到F1,F2两点距离之和等于4.
(Ⅰ)求此椭圆方程;
(Ⅱ)若直线l:y=kx+m(k≠0)与椭圆交于不同的两点M、N,且线段MN的垂直平分线过定点manfen5.com 满分网,求k的取值范围.
(Ⅰ)由已知得到关于a,b的两个方程,解出对应a,b的值即可. (Ⅱ)先把直线方程与椭圆方程联立,找到关于点M、N的中点坐标,把其代入线段MN的垂直平分线方程,可以得到k和m之间的一个等量关系,再利用直线l:y=kx+m(k≠0)与椭圆交于不同的两点M、N,对应判别式大于0,就可求出k的取值范围. 【解析】 (Ⅰ)由题意有,解得 ∴椭圆的方程为=1 (Ⅱ)设M(x1,y1),N(x2,y2),由⇒(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0 ∵直线y=kx+m与椭圆有两个交点 ∴△=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)>0,即m2<4k2+3 又x1+x2=-∴MN中点P的坐标为 设MN的垂直平分线l'方程:y=- ∵p在l'上∴ 即4k2+8km+3=0∴m=- 将上式代入得+3∴k2> 即k>或k<-∴k的取值范围为.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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