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已知二次函数f(x)=ax2+bx满足条件:①f(0)=f(1); ②f(x)的...

已知二次函数f(x)=ax2+bx满足条件:①f(0)=f(1);  ②f(x)的最小值为-manfen5.com 满分网
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设数列{an}的前n项积为Tn,且Tn=(manfen5.com 满分网f(n),求数列{an}的通项公式;
(3)在(2)的条件下,若5f(an)是bn与an的等差中项,试问数列{bn}中第几项的值最小?求出这个最小值.
(1)由已知中二次函数f(x)=ax2+bx满足条件:①f(0)=f(1);  ②f(x)的最小值为-结合二次函数的性质,我们构造关于a,b的方程,解方程求出a,b的值,即可求出函数f(x)的解析式; (2)由已知中Tn=()f(n),根据an=,我们可以求出n≥2时,数列的通项公式,判断a1=T1=1是否符合所求的通项公式,即可得到数列{an}的通项公式; (3)根据等差中项的定义,及5f(an)是bn与an的等差中项,我们易判断数列{bn}的单调性,进而求出数列{bn}的最小值,及对应的项数. 【解析】 (1)由题知:, 解得, 故f(x)=x2-x.…(4分) (2)Tn=a1•a2•…•an=, Tn-1=a1•a2•…•an-1=(n≥2) ∴an==(n≥2), 又a1=T1=1满足上式. 所以an=.…(9分)(验证a11分) (3)若5f(an)是bn与a的等差中项,则2×5f(an)=bn+an, 从而=bn+an, bn=5an2-6an=. 因为an=是n的减函数,所以 当an≥,即n≤3时,bn随n的增大而减小,此时最小值为b3; 当an<,即n≥4时,bn随n的增大而增大,此时最小值为b4. 又|a3-|<|a4-|,所以b3<b4,即数列{bn}中b3最小,且b3=-.…(16分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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