Question

设a、b、c∈R，函数f（x）=x³+ax²+bx+c在x=1和x=3取得极值
（1）求a、b的值；
（2）若方程f（x）=0有3个不等实根，求c的取值范围．

Answer

（1）根据所给的函数的解析式，对函数求导，使得导函数等于0，得到关于a，b的关系式，解方程组即可，写出函数的解析式．
（2）对函数求导，写出函数的导函数大于0，小于0的x的值，求得f（x）极大值，f（x）极小值，方程f（x）=0有3个不等实根等价于函数y=f（x）的图象与x轴有三个不同的交点，把极值同端点处的值进行比较得到结果．
【解析】
（1）∵f（x）=x3+ax2+bx+c
∴f'（x）=3x2+2ax+b
∵f（x）在x=1，x=3处取得极值
∴f'（1）=3+2a+b=0．f'（3）=27+6a+b=0
∴a=-6，b=9…（6分）
（2）∵f（x）=x3-6x2+9x+c，
∴f'（x）=3x3-12x2+9=3（x-1）（x-3）
∴x∈（-∞，1）时，f'（x）＞0，x∈（1，3）时，f'（x）＜0，x∈（3，+∞）时，f'（x）＞0，
∴f（x）极大值为f（1）=4+c，f（x）极小值为f（3）=c
∴方程f（x）=0有3个不等实根∴函数y=f（x）的图象与x轴有三个不同的交点∴4+c＞0＞c
∴-4＜c＜0…（12分）