Question

已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，AB=4，AD=6，∠PDA=45°
（1）求证：MN⊥平面PCD；
（2）求四面体PMND的体积．

Answer

（1）取PD的中点E，证明AMNE为平行四边形，MN∥AE，由等腰直角三角形斜边上的中线性质可得AE⊥PD，再由CD⊥AE  可得AE⊥平面PCD，故有MN⊥平面PCD．
（2）利用VP-MND=VM-PDN=，进行运算．
【解析】
（1）证明：取PD的中点E，
∵PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，AB=4，AD=6，
∴NE∥CD，NE=CD，
故AM和NE平行且相等，故AMNE为平行四边形，∴MN∥AE．
∵∠PDA=45°，∴AE 是等腰直角三角形斜边上的中线，∴AE⊥PD．
由CD垂直于面PAD可得  CD⊥AE．这样，AE 垂直于平面PCD内的两条相交直线PD和CD，
∴AE⊥平面PCD，∴MN⊥平面PCD．
（2）VP-MND=VM-PDN===12．