Question

已知f（x）=ln（ax+b）-x，其中a＞0，b＞0
（1）求f（x）在[0，+∝）上是减函数的充要条件；
（2）求f（x）在[0，+∝）上的最大值；
（3）解不等式in（1+）-≤ln2-1．

Answer

（1）先求出函数的导数，再求充分性由x≥0，a＞0，b＞0⇒当f'（x）≤0时，a-b≤0；然后求必要性：当a≤b时，由a＞0，b＞0，x≥0，⇒ax+b＞0，a-b-ax≤0，即可求出充要条件；
（2）由（1）能够得出当a≤b时，（x）的最大值为f（0）=lnb；当b＜a时，f（x）在[0，]是增函数，f（x）在[，+∞]是减函数，进而求得当x=时取得最大值为lna-，最后在总结即可；
（3）解不等式ln（1+）-≤ln2-1能够转化成f（）≤f（1），再根据函数的单调性即可求出解题．
【解析】
（1）f'（x）=
充分性：因为x≥0，a＞0，b＞0所以，当f'（x）≤0时，a-b≤0，即a≤b
必要性：当a≤b时，因为a＞0，b＞0，x≥0，所以ax+b＞0，a-b-ax≤0，即f'（x）≤0
所以f（x）在[0，+∝）上是减函数的充要条件是“a≤b”
（2）由（1）知当a≤b时f（x）在[0，+∝）上是减函数
∴f（x）的最大值为f（0）=lnb
当b＜a时，因为f'（x）=
∴当0≤x＜时，f'（x）＞0；当x＞时，f'（x）＜0
即f（x）在[0，]是增函数，f（x）在[，+∞]是减函数
则当x=时取得最大值为lna-
综上，[f（x）max]=
（3）在（1）中取a=b=1，得f（x）=ln（x+1）-x
由（1）知f（x）在[0，+∝）上是减函数
∵ln（1+）-≤ln2-1即f（）≤f（1）
∴≥1解得≤x＜0或x≥
∴不等式的解集为[，0）∪[，+∞