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已知函数f(x)=x3+3ax-1的导函数为f′(x),g(x)=f′(x)-a...

已知函数f(x)=x3+3ax-1的导函数为f(x),g(x)=f(x)-ax-3.
(1)当a=-2时,求函数f(x)的单调区间;
(2)若对满足-1≤a≤1的一切a的值,都有g(x)<0,求实数x的取值范围;
(3)若x•g(x)+lnx>0对一切x≥2恒成立,求实数a的取值范围.
(1)当a=-2时,求函数f(x)=x3+3ax-1的导函数为f′(x),令f′(x)>0,求出单调增区间;令f′(x)<0求出单调减区间; (2)若对满足-1≤a≤1的一切a的值,都有g(x)<0,变更主元,转化为关于a的一次函数,求出实数x的取值范围; (3)依题意,x•g′(x)+lnx>0对一切x≥2恒成立,采取分离参数的方法,转化为求函数的最值问题. 【解析】 (1)当a=-2时,f′(x)=3x2-6.令f′(x)=0得, 故当或x>时f′(x)>0,f′(x)单调递增; 当时f′(x)<0,f(x)单调递减. 所以函数f′(x)的单调递增区间为(,[);单调递减区间为; (2)因f′(x)=3a2+3a,故g(x)=3x2-ax+3a-3. 令g(x)=h(a)=a(3-x)+3x2-3,要使h(a)<0对满足-1≤a≤1的一切a成立, 则,解得; . (3)因为g(x′)=6x-a, 所以X(6x-a)+lnx>0 即对一切x≥2恒成立., 令6x2+1-lnx=φ(x),. 因为x≥2,所以φ′(x)>0, 故φ(x)在[2,+∞)单调递增,有φ(x)≥φ(2)=25-ln2>0. 因此h′(x)>0,从而. 所以a.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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