Question

已知双曲线-=1（a，b＞0）的左、右焦点分别为F₁F₂，P为左支上一点，P到左准线的距离为d，若d、|PF₁|、|PF₂|成等比数列，则其离心率的取值范围是（ ）
A．[，+∞）
B．（1，]
C．[1+，+∞）
D．（1，1+]

Answer

根据双曲线的定义可知PF2|=|PF1|+2a=，进而根据d，|PF1|，|PF2|成等比数列推断|PF2|=e|PF1|，结合：|PF1|+|PF2|≥|F1F2|，可得e2-2e-1≤0，从而可求离心率e的范围．
【解析】
∵|PF1|2=d•|PF2|，∴==e，即|PF2|=e|PF1|…①，
又|PF2|-|PF1|=2a…②．
由①②解得：|PF1|=，|PF2|=，
又在焦点三角形F1PF2中：|PF1|+|PF2|≥|F1F2|，
即：≥2c，即e2-2e-1≤0，
解得：1-≤e≤1+，又e＞1，∴1＜e≤1+，
故选D．