Question

已知函数f（x）=x³-3x，过点A（1，m）（m≠-2）可作曲线y=f（x）的三条切线，则m的取值范围（ ）
A．（-3，-2）
B．（-2，3）
C．（-2，-1）
D．（-1，1）

Answer

先将过点A（1，m）（m≠-2）可作曲线y=f（x）的三条切线转化为：方程2x3-3x2+m+3=0（*）有三个不同实数根，记g（x）=2x3-3x2+m+3，g'（x）=6x2-6x=6x（x-1），下面利用导数研究函数g（x）的零点，从而求得m的范围．
【解析】
由题意得：f′（x）=3x2-3，设切点为（x，y），
则切线的斜率k=3x2-3==，
即2x3-3x2+m+3，由条件知该方程有三个实根，
∴方程2x3-3x2+m+3=0（*）有三个不同实数根，
记g（x）=2x3-3x2+m+3，g'（x）=6x2-6x=6x（x-1）
令g'（x）=0，x=0或1，
则x，g'（x），g（x）的变化情况如下表

x （-∞，0） （0，1） 1 （1，+∞）
g'（x） + - +
g（x） 递增 极大 递减 极小 递增

当x=0，g（x）有极大值m+3；x=1，g（x）有极小值m+2，
由题意有，当且仅当即时，
函数g（x）有三个不同零点，
此时过点A可作曲线y=f（x）的三条不同切线．故m的范围是（-3，-2）．
故选A．