Question

已知f（x）是个一元三次函数，且满足=4，=-2，若函数F（x）=在R上处处连续，则实数a的值为    ．

Answer

设f（x）=mx3+nx2+px+q，由=4，知m+n+p+q=0，m+（n+m）+（p+m+n）=4，由=-2，知8m+4n+2p+q=0，4m+2（n+2m）+（p+2n+4m）=-2，由此求得f（x）=2x3-12x2+22x-12．再由==4，知F（3）=a=4．
【解析】
∵f（x）是个一元三次函数，
∴设f（x）=mx3+nx2+px+q，
∵=4，
∴m+n+p+q=0，
且f（x）=（x-1）[mx2+（n+m）x+（p+m+n）]，
∴m+（n+m）+（p+m+n）=4，
p+m+n=-q．
∵=-2，
∴8m+4n+2p+q=0，
且f（x）=（x-2）[mx2+（n+2m）x+（p+2n+4m）]
∴4m+2（n+2m）+（p+2n+4m）=-2，
-2（p+2n+4m）=q．
∴m=2，n=-12，p=22，q=-12．
∴f（x）=2x3-12x2+22x-12，
∵
=
=4
∴若函数F（x）=在R上处处连续，
则F（3）=a=4．
故答案为：4．