Question

如图，在Rt三角形ABC 中，角C=90°，AC=3，BC=4，一条直线 l与边BC、BA分别交与点 E、F，且分三角形ABC 的面积为相等的两部分，则线段EF 长的最小值为    ．

Answer

由C为直角，在直角三角形ABC中，由边AC及BC的长，利用勾股定理求出AB的长，再根据两直角边乘积的一半求出三角形ABC的面积，同时根据锐角三角函数定义求出sinB及cosB的值，设线段BE的长度为x，线段BF的长度为y，由直线EF把三角形分为面积相等的两部分，可得三角形BEF的面积等于三角形ABC面积的一半，由x，y及sinB的值，利用三角形的面积公式列出关系式，求出xy的值，在三角形BEF中，由x，y及cosB的值，利用余弦定理得|EF|2=x2+y2-2xycosB，把cosB的值代入，利用基本不等式变形，再将xy的值代入，即可求出|EF|的最小值，以及取得最小值时x与y的值．
【解析】
∵C=90°，|AC|=3，|BC|=4，
∴根据勾股定理得：|AB|=5，
∴S△ABC=|BC|•|AC|=6，
∴sinB==，
设|BE|=x，|BF|=y，
∵S△BEF=S△ABC，
∴xysinB=xy=3，
∴xy=10，
在△BEF中，|BE|=x，|BF|=y，cosB==，
由余弦定理有：|EF|2=x2+y2-2xycosB=x2+y2-16≥2xy-16=4，
当且仅当x=y=时取等号，
∴|EF|min=2．
故答案为：2