Question

已知数列{a_n}满足：a_n＞0，且对一切n∈N^*，有a₁³+a₂³+…+a_n³=S_n²，其中S_n为数列{a_n}的前n项和．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明：++…＞（n≥2，n∈N^*）．

Answer

（Ⅰ）由数列{an}满足：an＞0，且对一切n∈N*，有a13+a23+…+an3=Sn2，知a13+a23+…+an3+an+13=Sn+12，所以an+13=Sn+12-Sn2=an+1（Sn+1+Sn），an+12-an+1=2Sn，由an+12+an+1=2Sn+1，知an2+an=2Sn．所以2an+1=（an+12-qn2）+（an+1-an），由此能求出an=n．
（Ⅱ）由an=n，知，由当n≥2，n∈N*时，0＜lnn＜n-1，知，由当n≥2，n∈N时，，知，由上此能够证明＞．
（Ⅰ）【解析】
∵数列{an}满足：an＞0，且对一切n∈N*，有a13+a23+…+an3=Sn2，…①
所以a13+a23+…+an3+an+13=Sn+12，…②
①-②得an+13=Sn+12-Sn2=an+1（Sn+1+Sn），
则an+12=Sn+1+Sn=an+1+2Sn，
所以an+12-an+1=2Sn，
又an+12-an+1=2Sn=2Sn+1-2an+1，
所以an+12+an+1=2Sn+1…③
则an2+an=2Sn…④
③-④得2an+1=（an+12-an2）+（an+1-an），
从而an+1-an=1．
又由已知易得a1=1，所以数列{an}是以首项为a1=1，公差为1的等差数列
所以an=n．
（Ⅱ）证明：∵an=n，∴，
令f（x）=lnx-x+1，x＞1
∵f'（x）=-1=，
∴f（x）单调递减，
那么f（x）＜f（1）=0，即lnx＜x-1
∴当n≥2，n∈N*时，0＜lnn＜n-1，
∴，
∵当n≥2，n∈N时，，
∴两式相乘有，…（9分）
∴
=
＞，
=1+-
=
=（n≥2，n∈N*）．…（12分）