Question

已知ABCD为平行四边形，AB=2，，∠ABC=45°，BEFC是长方形，S是EF的中点，，平面BEFC⊥平面ABCD，

（Ⅰ）求证：SA⊥BC；
（Ⅱ）求直线SD与平面BEFC所成角的正切值．

Answer

（Ⅰ）作SM⊥BC于M点，连接MA，因为S是EF的中点，所以，由AB=2，∠ABC=45°，知AM⊥BC，由此能够证明SA⊥BC．
（Ⅱ）作DN⊥BC于N点，连接SN，由平面BEFC⊥平面ABCD，知DN⊥面BEFC，所以∠DSN是SD与面BEFC所成的角，由此能求出直线SD与平面BEFC所成角的正切值．
【解析】
（Ⅰ）作SM⊥BC于M点，连接MA，
∵ABCD为平行四边形，BEFC是长方形，，S是EF的中点，
∴，
∵AB=2，，∠ABC=45°，
∴AC=，
∴∠BAC=90°，
∴，
∴AM⊥BC，
∴BC⊥面SMA，
∴SA⊥BC…（7分）
（Ⅱ）作DN⊥BC于N点，连接SN，
∵平面BEFC⊥平面ABCD，，
∴DN⊥面BEFC，DN=AM=，SN=，
∴∠DSN是SD与面BEFC所成的角，
∵，
所以直线SD与平面BEFC所成角的正切值为．…（14分）