Question

对于给定数列{a_n}，如果存在实常数p，q，使得a_n+1=pa_n+q对于任意n∈N^*都成立，我们称数列{a_n}是“M类数列”．
（Ⅰ）已知数列{b_n}是“M类数列”且b_n=2n，求它对应的实常数p，q的值；
（Ⅱ）若数列{c_n}满足c₁=1，c_n+1-c_n=2ⁿ（n∈N^*），求数列{c_n}的通项公式．并判断{c_n}是否为“M类数列”，说明理由．

Answer

（Ⅰ）由数列{bn}是“M类数列”且bn=2n，知bn+1=bn+2，由此能求出p和q的值．
（Ⅱ）因为cn+1-cn=2n（n∈N*），所以c2-c1=2，c3-c2=4，…，cn-cn-1=2n-1（n≥2），所以cn=1+2+4+…+2n-1=2n-1（n≥2），由此能够推导出{cn}是为“M类数列”．
【解析】
（Ⅰ）∵数列{bn}是“M类数列”且bn=2n，
∴bn+1=bn+2，
∴由“M类数列”定义知：p=1，q=2．…（6分）
（Ⅱ）∵cn+1-cn=2n（n∈N*）
∴c2-c1=2，
c3-c2=4，
…
cn-cn-1=2n-1（n≥2），
∴累加求和，得到：cn=1+2+4+…+2n-1=2n-1（n≥2），
c1=1也满足上式，
∴cn=2n-1．
∴cn+1=2cn+1，
∴由“M类数列”定义知：{cn}是“M类数列”．  …（14分）