Question

已知椭圆4x²+y²-8kx-4ky+8k²-4=0（k为参数），存在一条直线，使得此直线被这些椭圆截得的线段长都等于，求直线方程    ．

Answer

先判断出 椭圆4x2+y2-8kx-4ky+8k2-4=0（k为参数）表示中心在直线y=2x上，长轴长和短轴长分别为4，2的一族椭圆，判断出符和条件的直线需要与直线y=2x平行，设出直线方程，先利用一个特殊的椭圆与直线方程联立求出直线的方程，在证明对于所以的椭圆都满足条件．
【解析】
椭圆4x2+y2-8kx-4ky+8k2-4=0（k为参数）可化为，
所以4x2+y2-8kx-4ky+8k2-4=0表示中心在直线y=2x上，长轴长和短轴长分别为4，2的一族椭圆，
而所求的直线与这族椭圆种的任意椭圆都相交，
若所求的直线l与直线y=2x不平行，则必定存在椭圆与直线l不相交，
于是，设所求直线的方程为y=2x+b
因为此直线被这些椭圆截得的线段长都等于，则直线y=2x+b与椭圆所得到弦长为，
由得8x2+4by+b2-4=0
得[（x1+x2）2-4x1x2]•5=5
即
解得b=±2
设直线y=2x+2与圆4x2+y2-8kx-4ky+8k2-4=0（k为参数），相交所得的弦长为d，则由
得
8x2+（8-16k）x+8k2-8k=0
所以d2=[（x1+x2）2-4x1x2]•5=5[（2k-1）2-4（k2-8k）]=5
所以直线y=2x+2与椭圆4x2+y2-8kx-4ky+8k2-4=0（k为参数）相交所得的弦长为．
同理可证，对任意k∈R，椭圆4x2+y2-8kx-4ky+8k2-4=0（k为参数）与直线y=2x-2相交所得弦长为．．