Question

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C，的对边，且．
（1）求角B的大小．
（2）在△ABC中，作角B的角平分线，交AC于D，求证+=．

Answer

（1）利用正弦定理化简已知的等式，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，由sinA的值不为0，两边同时除以sinA，得出cosB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（2）根据题意画出相应的图形，过D作DE平行于AB，由BD为角平分线得到一对角相等，再由两直线平行得到一对内错角相等，等量代换可得∠ABD=∠CBD=60°，即三角形BDE为等边三角形，可得BE=BD，由DE平行于AB，根据平行得比例得到一个比例式，将其中的CE换为BC-BE，并把BE都换为BD，同时根据BD为角平分线得到另外一个比例式，两个比例式等量代换后，在等式两边同时除以BC，化简后即可得证．
【解析】
（1）利用正弦定理化简已知的等式得：
，
整理得：2sinAcosB+sinCcosB=-sinBcosC，
即2sinAcosB=-（sinBcosC+cosBsinC）=-sin（B+C），
又sin（B+C）=sin（π-A）=sinA，
∴2sinAcosB=-sinA，又sinA≠0，
∴cosB=-，又B为三角形的内角，
则B=120°；
（2）根据题意画出图形，如图所示：

∵∠ABC=120°，BD为角平分线，
∴∠ABD=∠CBD=60°，
又DE∥AB，
∴∠BDE=∠ABD=60°，
∴∠CBD=∠BDE=60°，
∴△BDE为等边三角形，
∴BD=BE=DE，
又DE∥AB，
∴=，即=，
即=，
又BD为角平分线，可得=，
∴=-1=，
则两边同时除以BC得：•-=•，
则-=，即+=．