Question

已知{a_k}数列是等差数列．
（1）若m+n=p+q，求证a_m+a_n=a_p+a_q．
（2）若a_k=2k-1，求证a₁²+a₂²+…+a_k²=k（4k²-1）．
（3）若对于给定的正整数s，有a₁²+a_s+1²=1，求S=a_s+1+…+a_2s+a_2s+1的最大值．

Answer

（1）由等差数列的通项公式得到所要证的等式．
（2）将和分组，利用等差数列的前n项和公式及公式得到要证的等式．
（3）由等差数列的前n项和公式可得要求S的最大值，设as+1+a2s+1=A，根据等差数列的性质推出A与a1、as+1的关系，代入已知条件，消去as+1，得到a1、A的方程，利用方程有解，即可求出A的范围，故本题可解．
证明：（1）因为{ak}是等差数列，设其首项为a1，公差为d，
所以am+an=a1+（m-1）d+a1+（n-1）d=2a1+（m+n-2）d．
ap+aq=a1+（p-1）d+a1+（q-1）d=2a1+（p+q-2）d．
因为m+n=p+q，
所以2a1+（m+n-2）d=2a1+（p+q-2）d，
所以am+an=ap+aq．
（2）因为ak=2k-1，
所以ak2=4k2-4k+1，
所以a12+a22+…+ak2
=4（12+22+…+k2）+4（1+2+3+…+k）+k
=4
=k（4k2-1）．
即a12+a22+…+ak2=k（4k2-1）．
（3）【解析】

设as+1+a2s+1=A，
则A=as+1+a2s+1+a1-a1=as+1+2as+1-a1=3as+1-a1．
则，由，可得：10a12+2Aa1+A2-9=0，
由△=4A2-40（A2-9）≥0，可得：．（12分）
所以．（14分）
所以S=as+1+…+a2s+a2s+1的最大值为．