Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E为AC的中点．
（I）若，求点A到平面BEC₁的距离；
（Ⅱ）当为何值时，二面角E-BC₁-C的正弦值为？

Answer

（I）由题意及正三棱锥的特点及点E为AC的中点可以得到BE垂直于平面ACC1A1，所以要求点A到平面BEC1的距离，利用三棱锥的等体积法即可求解；
（II）由于要求二面角E-BC1-C的正弦值为，不妨假设比值为x，利用二面角的值求解出x的值．
【解析】
（Ⅰ）由题意画出图形为：（即点A到平面的距离为h）

∵三棱锥为正三棱锥，且点E为AC的中点，∴BE⊥平面ACC1A1
又∵AB=2，AA1=，∴BE=，
对于三棱锥A-BEC1的体积为：⇒h=
故点A到平面BEC1的距离为．

（II）由题意画图如下：

由（I）可以知道平面BEC1与平面ACC1A1垂直且交线为EC1，
所以在平面ACC1A1中过点C作CM⊥EC1，有三垂线定理可以做出已知的二面角的平面角为∠CNM，
不妨假设AB=1，则A1A=x，在直角△ECC1中利用三角形的面积相等可以得到：CM=，
在直角三角形BCC1中同理可得：CN=，
而在直角三角形CMN中sin∠CNM=⇒x=1或x=-1（舍）
所以当=1时，使得二面角E-BC1-C的正弦值为；
故答案为：比值1．