Question

四个纪念币A、B、C、D，投掷时正面向上的概率如下表所示（0＜a＜1）．

将这四个纪念币同时投掷一次，设ξ表示正面向上的纪念币的个数．
（Ⅰ）求ξ的取值及相应的概率；
（Ⅱ）求在概率p（ξ）中，p（ξ=2）为最大时，实数a的取值范围．

Answer

（I）由题意知ξ可能取值为0，1，2，3，4．根据所给的四个纪念币投掷时正面向上的概率，根据这四个纪念币是否向上是相互独立的，结合变量对应的事件写出变量对应的概率．
（II）根据a是概率，得到a的范围，根据a的范围比较出两个概率之间的大小关系，p（ξ=0）＜p（ξ=1），p（ξ=4）＜p（ξ=3），要求p（ξ=2）为最大时a的值，只要比较与ξ=3，ξ=2与ξ=1的大小，解不等式组得到结果．
【解析】
（I）ξ可能取值为0，1，2，3，4．
其中p（ξ=0）=C2（1-）2C2（1-a）2=（1-a）2
p（ξ=1）=C21（1-）C2（1-a）2+C2（1-）2•C21a（1-a）=（1-a）
p（ξ=2）=C22（）2C2（1-a）2+C21（1-）C21a（1-a）+C2（1-）2•C22a 2=（1+2a-2a 2）
p（ξ=3）=C22（）2C21a（1-a）+C21（1-）C22a 2=
p（ξ=4）=C22（）2C22a 2=a 2
（II）∵0＜a＜1，
∴p（ξ=0）＜p（ξ=1），p（ξ=4）＜p（ξ=3）
又p（ξ=2）-p（ξ=1）=（1+2a-2a2）-=-≥0
（1+2a-2a 2）-≥0
∴，
解得a∈[]