Question

有下列四个命题：
①“若xy=1，则x，y互为倒数”的逆命题；
②“相似三角形的周长相等”的否命题；
③“若b≤-1，则方程x²-2bx+b²+b=0有实根”的逆否命题；
④“若A∪B=B，则A⊇B”的逆否命题．
其中真命题是（ ）
A．①②
B．②③
C．①③
D．③④

Answer

逐个加以判别：根据两个实数互为倒数的定义，不难得到①是真命题；对于②，可以举两个周长相等的三角形，但它们不相似，说明②是假命题；运用一元二次方程根的判别式，结合不等式的基本性质，可得③是真命题；根据集合包含关系和并集的含义，可举出反例说明④是假命题，最终得出正确的选项．
【解析】
对于①，“若xy=1，则x，y互为倒数”的逆命题是：
若x，y互为倒数，则xy=1．
符合倒数的定义，故①是真命题；
对于②，“相似三角形的周长相等”的否命题是：
不相似的两个三角形的周长不相等，
可举反例：
△ABC中，AB=BC=CD=4，三角形是等边三角形且周长为12，
△DEF中，DE=3，EF=4，FD=5，三角形是直角三角形且周长为12，
两个三角形不相似但周长相等，故②是假命题；
对于③，“若b≤-1，则方程x2-2bx+b2+b=0有实根”逆否命题是：
若x2-2bx+b2+b=0没有实数根，则b＞-1．
若x2-2bx+b2+b=0没有实数根，可得△=-4b＜0⇒b＞0⇒b＞-1，
可知当x2-2bx+b2+b=0没有实数根时，b＞-1成立，故③正确
对于④，“若A∪B=B，则A⊇B”的逆否命题是：
若“A⊉B，则A∪B≠B”
举反例：A={1，2}，B={1，2，3}
此时A⊉B，但A∪B={1，2，3}=B，故④是假命题．
综上所述，①③是正确的．
故选C．