Question

（文）函数f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若，
（1）证明：f（x）在[-1，1]上是增函数；
（2）解不等式；
（3）若f（x）≤4^t-3•2^t+3对所有x∈[-1，1]恒成立，求实数t的取值范围．

Answer

（1）利用函数的单调性的定义可知，要证明函数f（x）在[-1，1]上是增函数，只要证明任取-1≤x1＜x2≤1时，f（x1）＜f（x2），即可
（2）由不等式，结合（1）可得，解不等式可求x
（3）结合函数f（x）在[-1，1]是增函数，且f（1）=1，可得f（x）的最大值1，则由f（x）≤4t-3•2t+3对所有x∈[-1，1]恒成立，只要f（x）max≤4t-3•2t+3即可，从而可求
证明：（1）任取-1≤x1＜x2≤1．
∵f（x）为奇函数，
∴，
∵，
∴f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在[-1，1]上是增函数
（2）
（3）由（1）知f（x）在[-1，1]是增函数，且f（1）=1，
∴x∈[-1，1]时，f（x）≤1．
∵f（x）≤4t-3•2t+3对所有x∈[-1，1]恒成立，
∴4t-3•2t+3≥1恒成立，
∴（2t）2-3•2t+2≥0即2t≥2或2t≤1
∴t≥1或t≤0．