Question

已知函数f（x）=（1-a²）x²-2bx+b²（-1＜b-1＜a）．用card（A）表示集合A中元素的个数，若使得f（x）＞0成立的充分必要条件是x∈A，且card（A∩Z）=4，则实数a的取值范围是（ ）
A．（-1，2）
B．（1，2）
C．（2，3）
D．（3，4）

Answer

由card（A∩Z）=4知A中恰有4个整数，
即不等式f（x）＞0的解集中恰有4个整数解，
再由f（x）＞0⇔（x-b）2-（ax）2＞0⇔[（1-a）x-b][（1+a）x-b]＞0求解．
分类讨论，当-1＜a≤1时，原不等式的解集不符合题意；a＞1求出的解集即可．
【解析】
依题意A中恰有4个整数，所以不等式f（x）＞0的解集中恰有4个整数解．
因为f（x）＞0⇔（x-b）2-（ax）2＞0⇔[（1-a）x-b][（1+a）x-b]＞0，
当-1＜a≤1时，原不等式的解集不符合题意；
当a＞1时，[（1-a）x-b][（1+a）x-b]＞0⇔（a-1）（a+1）[x-][x-]＜0，
所以＜x＜．
因为∈（0，1），所以∈（-4，-3）．所以3a-3＜b＜4a-4．
又0＜b＜1+a，所以解得1＜a＜2．
故选B．