Question

在数列{a_n}和{b_n}中，a_n=aⁿ，b_n=（a+1）n+b，n=1，2，3，…，其中a≥2且a∈N^*，b∈R．
（Ⅰ）若a₁=b₁，a₂＜b₂，求数列{b_n}的前n项和；
（Ⅱ）证明：当时，数列{b_n}中的任意三项都不能构成等比数列；
（Ⅲ）设A={a₁，a₂，a₃，…}，B={b₁，b₂，b₃，…}，试问在区间[1，a]上是否存在实数b使得C=A∩B≠∅．若存在，求出b的一切可能的取值及相应的集合C；若不存在，试说明理由．

Answer

（I）由a1=b1，a2＜b2，结合已知可建立a，b的方程，从而可求a，b，进一步求出数列bn的通项及前n项和
（II）结合（I）知，假设amanat（m．n．t∈N+）成等比数列，且m≠n≠t，由假设推导可得，结合m≠t≠n∈N+的条件可知矛盾．
（III）设存在实数b∈[1，a]，使C=A∩B≠∅，若m∈C，则m∈A，且m∈B，
由m∈A可设m=at，由m∈B可设mo=（a+1）s+b，整理可得分t为奇偶情况分别进行讨论，若推出矛盾，则说明不存在，否则存在符合条件的实数b
【解析】
（Ⅰ）因为a1=b1，所以a=a+1+b，b=-1，（1分）
由a2＜b2，得a2-2a-1＜0，
所以，（3分）
因为a≥2且a∈N*，所以a=2，（4分）
所以bn=3n-1，{bn}是等差数列，
所以数列{bn}的前n项和．（5分）
（Ⅱ）由已知，假设，，成等比数列，其中m，n，t∈N*，且彼此不等，
则，（6分）
所以，
所以，
若m+t-2n=0，则3n2-3mt=0，可得m=t，与m≠t矛盾；（7分）
若m+t-2n≠0，则m+t-2n为非零整数，为无理数，
所以3n2-3mt为无理数，与3n2-3mt是整数矛盾．（9分）
所以数列{bn}中的任意三项都不能构成等比数列．
（Ⅲ）设存在实数b∈[1，a]，使C=A∩B≠∅，
设m∈C，则m∈A，且m∈B，
设m=at（t∈N*），m=（a+1）s+b（s∈N*），
则at=（a+1）s+b，所以，
因为a，t，s∈N*，且a≥2，所以at-b能被a+1整除．（10分）
（1）当t=1时，因为b∈[1，a]，a-b∈[0，a-1]，
所以；（11分）
（2）当t=2n（n∈N*）时，a2n-b=[（a+1）-1]2n-b=（a+1）2n+-C2n1（a+1）+1-b，
由于b∈[1，a]，所以b-1∈[0，a-1]，0≤b-1＜a+1，
所以，当且仅当b=1时，at-b能被a+1整除．（12分）
（3）当t=2n+1（n∈N*）时，a2n+1-b=[（a+1）-1]2n+1-b=（a+1）2n+1++C2n+11（a+1）-1-b，
由于b∈[1，a]，所以b+1∈[2，a+1]，
所以，当且仅当b+1=a+1，即b=a时，at-b能被a+1整除．（13分）
综上，在区间[1，a]上存在实数b，使C=A∩B≠∅成立，且当b=1时，C={y|y=a2n，n∈N*}；当b=a时，C={y|y=a2n+1，n∈N}．