Question

已知函数f（x）的图象在[a，b]上连续不断，定义：f₁（x）=min{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]），f₂（x）=max{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]）．其中，min{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最小值，max{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最大值．若存在最小正整数k，使得f₂（x）-f₁（x）≤k（x-a）对任意的x∈[a，b]成立，则称函数f（x）为[a，b]上的“k阶收缩函数”．
（1）若f（x）=cosx，x∈[0，π]，试写出f₁（x），f₂（x）的表达式；
（2）已知函数f（x）=x²，x∈[-1，4]，试判断f（x）是否为[-1，4]上的“k阶收缩函数”，如果是，求出对应的k；如果不是，请说明理由；
（3）已知b＞0，函数f（x）=-x³+3x²是[0，b]上的2阶收缩函数，求b的取值范围．

Answer

（1）根据f（x）=cosx的最大值为1，可得f1（x）、f2（x）的解析式．
（2）根据函数f（x）=x2在x∈[-1，4]上的值域，先写出f1（x）、f2（x）的解析式，再由f2（x）-f1（x）≤k（x-a）求出k的范围得到答案．
（3）先对函数f（x）进行求导判断函数的单调性，进而写出f1（x）、f2（x）的解析式，然后再由f2（x）-f1（x）≤k（x-a）求出k的范围得到答案．
【解析】
（Ⅰ）由题意可得：f1（x）=cosx，x∈[0，π]，f2（x）=1，x∈[0，π]．
（Ⅱ），

当x∈[-1，0]时，1-x2≤k（x+1），∴k≥1-x，k≥2；
当x∈（0，1）时，1≤k（x+1），∴，∴k≥1；
当x∈[1，4]时，x2≤k（x+1），∴，∴．
综上所述，∴
即存在k=4，使得f（x）是[-1，4]上的4阶收缩函数．

（Ⅲ）f'（x）=-3x2+6x=-3x（x-2），令f'（x）=0得x=0或x=2．

函数f（x）的变化情况如下：
令f（x）=0，解得x=0或3．

（ⅰ）b≤2时，f（x）在[0，b]上单调递增，
因此，f2（x）=f（x）=-x3+3x2，f1（x）=f（0）=0．
因为f（x）=-x3+3x2是[0，b]上的2阶收缩函数，
所以，①f2（x）-f1（x）≤2（x-0）对x∈[0，b]恒成立；
②存在x∈[0，b]，使得f2（x）-f1（x）＞（x-0）成立．
①即：-x3+3x2≤2x对x∈[0，b]恒成立，
由-x3+3x2≤2x，解得：0≤x≤1或x≥2，
要使-x3+3x2≤2x对x∈[0，b]恒成立，需且只需0＜b≤1．
②即：存在x∈[0，b]，使得x（x2-3x+1）＜0成立．
由x（x2-3x+1）＜0得：x＜0或，
所以，需且只需．
综合①②可得：．

（ⅱ）当b＞2时，显然有，由于f（x）在[0，2]上单调递增，
根据定义可得：，，
可得，
此时，f2（x）-f1（x）≤2（x-0）不成立．
综合ⅰ）ⅱ）可得：．
注：在ⅱ）中只要取区间（1，2）内的一个数来构造反例均可，这里用只是因为简单而已．